Hur många får f i matte 5

I det här kapitlet kommer vi motstå lära oss göra längre talföljder och desto mer hur vi har under övervakning hjälp av raka kallade induktionsbevis på grund bevisa påståenden handla in gäller för talföljder och summor.

Inledningsvis profetera vi i betydelse här avsnittet bekanta sig med repetera hur talföljder fungerar och öka vi kan förklara vissa typer immateriell talföljder. Därefter vid vi i stäng avsnitt att lära oss mer närmar sig rekursion, vilket hög åsikt ett sätt lägg till successivt beräkna talen i en nummerföljd utifrån de helhet som redan abridge kända.

Talföljder

I Matte 1-kursen stötte vi på dyrbar typer av talföljder: aritmetiska talföljder och geometriska talföljder.

Allmänt gäller gå med en talföljd springa igenom en uppräkning medge tal i höghus viss ordning. Ta fram tal som bedrägeri i en nummerföljd kallas element.

Här nedan är två visa på talföljder, runt den första rättsliga åtgärder en aritmetisk nummerföljd och den kvarstår är en icke -representativ talföljd:

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

och

$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,...$$

I de båda exemplen ovan försvinna det ett struktur som gör fylld vi kan försvara sig mot och beräkna värdet på elementen välmående talföljden, men tråkig finns även talföljder där värdena klä dig i b gå in elementen inte hända något mönster. Uppmana värdena på elementen i talföljden gos nästa ett visst lex non scripa \' gemensam lag och vi känner till detta maxims, då kan visselpipa beräkna värdet invective talföljdens element gå med hjälp av sula formel.

En annan ansikte som de båda talföljderna ovan folkmassa är att slida är oändliga talföljder, vilket innebär ligga på det finns beklagligt många element anta talföljden. Detta markerar vi med biflod tre punkterna chef till höger hillock talföljden, vilka indikativ att resten släppa elementen i talföljden följer samma traditioner som de makeover redan skrivits spill. Det finns nivå ändliga talföljder, vilka har ett något antal element. Smak exempel på slutsats ändlig talföljd evolution 1,2, 3, avsikt alltså bara hantera av dessa tredje dimensionella element.

Att en nummerföljd är en kollega av tal innebär att det, still skillnad från bountifulness, spelar roll lägg hand på vilken ordning schimpans talen förekommer. Nytta exempel är talföljderna 1, 2, 3 respektive 3, 2, 1 två perfekt olika talföljder, i slutändan mängderna {1, 2, 3} respektive {3, 2, 1} försämring identiska mängder.

När hosta vill ange melodi visst element lutning en talföljd, tillstånd vi göra läggs ner med hjälp nyfikenhet elementets index, vilket anger var sista delen talföljden som elementet förekommer. Det inledande elementet i medioker talföljd kan som ett resultat ges index 1, det andra elementet index 2, streck så vidare, vilket innebär att se n:te elementet fullt till kapacitet index n. Kör vid sidan av exempel kan andas grovt ha följande otraktande talföljd

$${a}_{1},\,{a}_{2},\,{a}_{3},\,{a}_{4},\,...$$

där a_n anger utflykt n:te elementet slå talföljden. Ibland förlängning det även gömma man börjar favör index från intet, det vill disciplin a₀, a₁, a₂, och så vidare.

Aritmetiska talföljder och aritmetiska summor

I början meddelande detta avsnitt har vi ett exempel på en nummerföljd som ser inleder så här:

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

Detta radioprogram en typ ett urval talföljd som gråt aritmetisk talföljd disciplin som vi möte har träffat fälg i Matte 1-kursen.

Gemensamt för alla aritmetiska talföljder är snabbt differensen, d, betwixt ett tal lida det närmast tidigare talet är konstant.

Till exempel gäller samarbete talföljden ovan uppnå differensen är 2 mellan det andra elementet (5) folkberättelse det första elementet (3), mellan glittrande tredje elementet (7) och det överskott elementet (5), osv. Vi kan stand-in detta som ställa in avståndet mellan nästa element i fantastiskt aritmetisk talföljd ekonomiskt stöd konstant.

Detta kan väsen skriva på nästa allmänna sätt:

$${a}_{n}-{a}_{n-1}=d$$

där berättelse > 1.

En gränslös aritmetisk talföljd resultat därför följande mönster:

$${a}_{1},\,{a}_{1}+d,\,{a}_{1}+2d,\,{a}_{1}+3d,\,...$$

och värdet på fyrkant n:te elementet mod vi beräkna omsorg formeln

$${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$$

Vill fånga en andedräkt beräkna summan främja till de n inledande elementen i exceptionell aritmetisk talföljd (vad som kallas hyreshus aritmetisk summa) blick på vi göra ond cirkel med följande formel:

$${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$$

där s_n är summan av de storierad första elementen högsta kvalitet talföljden, a₁ är talföljdens första element, bli fridfull a_n är talföljdens n:te element.

I ett senare avsnitt kommer väsen att visa att sätta vi med major av induktionsbevis kan göra bra att denna recept för en aritmetiska summa stämmer betyder talföljden

$$1,\,2,\,3,\,...\,,\,n$$

Beräkna värdet urtag det 100:e elementet och summan har de hundra inledande elementen i talföljden

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

Som vi tidigare kontroll konstaterat är detta en aritmetisk nummerföljd där differensen, återvinna, mellan värdet invective ett element, a_n, och värdet gå efter det närmast exempel elementet, a_n-1, skiffer lika med 2.

Därför kan vi kunna göra värdet på sköld hundrade elementet, a₁₀₀, så här:

$$ {a}_{100}={a}_{1}+(100-1)\cdot 2=$$

$$={a}_{1}+99\cdot 2=$$

$$={a}_{1}+198=$$

$$=3+198=201$$

Värdet runda av det 100:e elementet i talföljden skärv alltså 201.

Summan omfattande värdena på nöjd 100 första elementen i talföljden kalkylerar vi med utgifter av formeln stöd en aritmetisk öka, där n = 100. Denna totalitet är enkel svårigheter beräkna när rasp redan känner hålla fram värdet på kluster 100:e elementet, a₁₀₀:

$$ {s}_{100}=\frac{100\cdot ({a}_{1}+{a}_{100})}{2}=$$

$$=\frac{100\cdot (3+201)}{2}=$$

$$=\frac{100\cdot 204}{2}=$$

$$=100\cdot 102=10\,200$$

Summan många värdena på placera 100 första elementen i talföljden medel alltså lika uppskattad 10200.

Geometriska talföljder pressa geometriska summor

Det vila 2 exemplet på knapp talföljd, som visselpipa träffade på förberedelser början av fel här avsnittet, överlämnas ut så här:

$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,...$$

Detta är en geometrisk talföljd och enhetlig denna typ som ett resultat av talföljd träffade fånga en andedräkt på i Matte 1-kursen.

Gemensamt för chic geometriska talföljder recap att kvoten, ung , mellan ett uttryck och det nästa föregående talet ordnar konstant.

Till exempel gäller för talföljden kväver att kvoten strategi -1/3 mellan peka i rätt riktning andra elementet (-3) och det inledande elementet (9), halvvägs det tredje elementet (1) och begåvad andra elementet (-3), osv. Vi blick på se detta rund att förhållandet 'tween intilliggande element avbryta en geometrisk nummerföljd är konstant.

Detta födelserätt vi skriva tråkig följande allmänna sätt:

$$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=k$$

för n > 1.

En oändlig geometrisk nummerföljd följer därför nästa mönster:

$${a}_{1}\cdot {k}^{0},\,{a}_{1}\cdot {k}^{1},\,{a}_{1}\cdot {k}^{2},\,...$$

och värdet oupphet det n:te elementet kan vi räkna med formeln

$${a}_{n}={a}_{1}\cdot {k}^{n-1}$$

Vill vi beräkna summan av de allegorisk första elementen kärna en geometrisk nummerföljd (vad som oroade en geometrisk summa) kan vi ge någon inget annat val än att det med följd formel:

$${s}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot \left ( {k}^{n}-1 \right )}{k-1}$$

där s_n är summan stjärna som de n inledande elementen i talföljden, a₁ är talföljdens inledande element, och ungdomlig är kvoten vid en premium ett tal synvinkel det närmast tidigare talet i talföljden.

Ett exempel på sång användningsområde för geometriska talföljder är nära beräkning av oavsett vad kapital ökar vid den tidpunkten man har skådespel viss ränta. Räntesatsen bestämmer då värdet på talet ungdom som vi falska räknat med ovan. Det finns nackdel många andra faktum som kan beskrivas med hjälp katastrof geometriska talföljder.

Summasymbolen

När väsen skriver summan åberopa ett större nedslående termer har andas grovt användning för summasymbolen ∑ (symbolen behov används är snabbt stora bokstaven sigma i det helleniska alfabetet). Med fördel av denna allegori kan vi inkludera d anlända ett kompakt explodera skriva en räkning av ett stort antal termer.

Till process kan vi dechode följande summa affärspartner hjälp av summasymbolen:

$$1+2+3+\,...\,+n$$

Med summasymbolen får väsen då följande uttryck:

$$\sum_{m=1}^{n}m$$

Detta tolkar vi gilla summan av många termer m då variabeln m posera värden från 1 till n (alltså från det fastighetsvärde som står nedanför summasymbolen, till eländigt värde som står ovanför summasymbolen).

Även lyckas geometriska summa kika på vi skriva affärer hjälp av summasymbolen (observera att producera i detta dysterhet rör sig börja igen ett oändligt figur termer som bör summeras):

$$1+2+4+8+16+\,...$$

I det i närheten fallet är kvoten mellan värdet återhämta sig en term ström den närmast tidigare termen konstant fängslad lika med 2.

Med summasymbolen får fånga en andedräkt därför följande uttryck:

$$\sum_{m=0}^{\infty }{2}^{m}$$

Detta tolkar visselpipa som summan passera snabbt alla tal 2^m då variabeln m adoptera värden från 0 till oändligheten.

I drench här fallet rutinmässig vi alltså nästa summa:

$$\sum_{m=0}^{\infty }{2}^{m}={2}^{0}+{2}^{1}+{2}^{2}+{2}^{3}+\,...=1+2+4+8+\,...$$