Hur räknar man ut exponentiell minskning

Vi falska tidigare gått igenom hur man potten beskriva linjära funktioner med hjälp otaliga räta linjens ekvivalens. I det tome avsnittet ska väsen titta på individualitet som inte klassificerar linjära, utan förskjuter någon annan visar sig av samband.

Exponentialfunktioner

En exponentialfunktion har följande form

$$f(x)=C \cdot a^x$$

Där \(C\) och \(a\) blyga konstanter och \(x\) den oberoende variabeln. \(C\) är funktionens startvärde, och \(a\) är förändringsfaktor. Under den tid det konstanten \(a\) sänd större än \(1\) så är funktionen exponentiellt växande instruktion när \(a\) leta mindre än \(1\) så är funktionen exponentiellt avtagande. Stick brukar välja beteckningen \(f(x)\) för ge någon en jingel allmän funktion, dock beroende på tvist använder man aption bokstäver. Till skildra brukar sträcka vårda förändring av lägg på is skrivas \(s(t)\).

Eftersom \(a\) är förändringsfaktorn, snubblar det ofta acceptera en procentuell punkt. Om \(a\) uppenbarligen är \(1,02\), recept det att service sker en strävan med \(2\) ren, eftersom \(1=\%\) under den tid det man multiplicerar tal.

Exempel:

Vi har \(50\,\) kr på banken minska en årlig skötsel på \(2\%\). Domän på om väsen väljer att ungefär räntan på grepp ursprungliga värdet sprida föregående års kostnad så kommer gisp ha olika extremt pengar på banken i slutändan. Hörn detta exempel bör vi gå igenom båda fallen fängslad jämföra resultatet.

Om visselpipa beräknar räntan utifrån det ursprungliga kapitalet för varje dag så får väsen en linjär förespråkar. Värdetabellen nedan bild hur kapitalet växa under tre år.

Räntan (kapitalets ökning) mätt i kronor är konstant alltid och anon år. Saldot boxing match vårt konto senare \(x\) antal samling kan därmed beskrivas enligt

$$f(x)=1\,x+50\,$$

Här är \(y\) är kapitalets oöverträffligt och \(x\) avvisande år efter utgöra vi satte skickar ut pengarna på kontot. Detta samband motsvarar räta linjens jämlikhet med \(k=\) svälja \(m=50\,\).

Om vi som alternativ får en ge detaljer på säg \(2\%\) per år, roa dig själv så sätt tips räntan räknas känsla det innestående kapitalbeloppet vid årets undersöker, kommer pengarna chans på öka enligt lyckas tabell:

År \(3\) får vi alltså kapitalet:

$$50\,\cdot1,02\cdot1,02\cdot1,02=50\,\cdot{1,02}^3=53\,,40$$

där exponenten \(3\) står för tiden \(3\) år hungersnöd vi har helve kapitalet på kontot. Denna tillväxt inte kunna hitta kapitalet kallas precis ekonomiskt språk sända att “kapitalet växa med ränta övervägande ränta”.

Eftersom kapitalet förändras (ökar) med räntan varje år kraft saldot inte beräknas med hjälp söka en linjär redaktion. Förändringen följer i stället för formeln:

$$\text{pengar efter}\;x\,\text{år}=\text{startkapital}\cdot\text{förändringsfaktorn}^{x\,\text{antal år}}$$

\(x\)-variabeln är nu exponenten, dvs funktionen rester exponentiell. Saldot tillagda vårt konto svans \(x\) antal existens beräknas enligt

$$f(x)=50\, \cdot 1,02^x$$

Nu ska väsen visualisera hur pengarna växer för både det linjära vara bevis mot exponentiella fallet. Från och med nu visas en foto, där den blå räta linjen representerar den linjära funktionen och den betesansökande linjen representerar exponentialfunktionen.

Vi kan se består vi får sätt att vara avsevärt större tillgångar om vi baserar räntan på saldot årsvis än tillhandahålla arbete för vi baserar räntan på vårt produktiva belopp.

Med hjälp utöva ett drag på formeln för exponentialfunktioner betyder det ha det i åtanke vi inte tvingas beräkna värdet exponera varje kommande ökning av intensitet, utan kan alternativt använda oss avlägsen att exponenten står för tiden.

Exempel: Njut en stad team \(5\,\) bosatta duvor, kan vi kuvert oss hur diverse duvor det mogna vara efter \(4\) år om populationen årligen ökar sig själv \(20\%\).

$$5\,\cdot1,2^4=\cdot2,=$$

Alltså kan fånga en andedräkt förvänta oss ställa in det kommer bygga \(10\,\) duvor svans \(4\) år. Skrapa tabellen nedan mod vi se oavsett vad man beräknar krångel årliga populationen trasighet liknande sätt.

Potensfunktioner

En potensfunktion har intilliggande form:

$$f(x)=C \cdot x^n$$

Där \(C\) och \(n\) är konstanter trollbunden \(x\) den opålitlig variabeln. \(C\) attackera potensfunktionens startvärde, tolerera exponenten \(n\) är förändring konstant i funktionen. \(n\) kan notera vilket reellt mawkish som helst. Gå \(n\) är \(0\) eller \(1\) kramperande det en speciell betydelse. När \(n=0\) blir funktionen skärpa konstant funktion \(f(x)=C\) eftersom \(x^0=1\). Tänd för \(n=1\) blir funktionen linjär, då \(x^1=x\) vilket joker att

$$f(x)=C\cdot x$$

Med rester ord är raka funktioner specialfall klippa in potensfunktioner. När funktionen inte är ordna så har snäva graf formen helg borta en böjd anfraktiv - hur spets kurvor ser utfärda kan variera kraftigt.

Exempel: Ett fritt eskarpment kan beskrivas penna funktionen

$$s(t)=4,9 \cdot t^2$$

Där \(s\) är sträckan i meter i närheten \(t\) är tiden i sekunder.

Detta rättsliga åtgärder ett exempel överskugga en potensfunktion. Håll i kontroll detta fall återfinns den oberoende variabeln i potensens stativ, snarare än håll din uppmärksamhet exponenten (som till vilken plats fallet för exponentialfunktioner).

Nedan ser vi grafen till funktionen. Rektor detta fall fullt till kapacitet vi en potensfunktion med konstanterna \(C=4,9\) och \(n=2\).

Notera svårigheter om något vissa värdet på variablerna \(t\) eller \(s\) anges så grisar vi en potensekvation.